別用鑽石敲石頭

如同選舉前的預期,雖然經歷了扁家海外匯款,招妓疑雲,甚至經由法官直接宣判招妓男就是陳致中,陳致中這次在南部高票當選,並且在第十選區成為最高票的議員。這樣的結果,不知道是不是主打扁家弊案的邱毅所能預期的。這篇文章本來是在選舉前要發佈的,為了避免讓人覺得我有特定的黨派色彩影響,還是壓到選舉結束之後在發佈為佳。我想提出一個看法,相信部份國民黨的政治人物一定有希望陳水扁家族的力量從政壇消失的念頭,要達到這個目的,用再多的弊案報導或形象攻擊是沒有用的。用多的形象攻擊對於一群有信仰的深綠族群是毫無作用的,越多的攻擊只是把越多的普世價值一起陪葬在這一場政治遊戲當中,造成更多人的失望。我將用數學的機率概念來解釋這個現象。

首先介紹一個數學中重要的定理叫做貝氏理論。貝氏理論的公式如下:

 \[p(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^C)P(A^C)}\]

\( P(A|B)\) 代表的是在 \(B\) 發生的情形下, \(A\) 發生的條件機率。 \(A^C\) 是 \(A\) 的補集。這個定理說明 \(A\) 事件在 \(B\) 事件發生的情況下出現的機率和 \(B\) 事件在 \(A\) 事件發生的情況下出現的機率通常是不一樣的,但是兩者之間會有一個關係,而這個定理就是說明彼此之間的關係。會提到這個定理,是因為從數學的角度可以證明許多日常生活中我們的直覺與事實存在很大的差距。舉例來說,若衛生署提供了一個 H1N1 的檢測試劑,這個試劑的敏感度是 99%,意思是當一個 H1N1 病患用這個試劑來檢測時,會有 99% 的機率試劑會檢測出陽性反應。這個數字直覺上很棒,但是貝氏定理卻提供一個潛在的問題。在真實世界中,我們關心的是,當一個人被檢測出有 H1N1 時,那麼他真正得到 H1N1 的率是多少?

我們令 \(A\) 事件是得 H1N1 的機率, \(B\) 事件是檢測 H1N1 為陽性的機率。根據試劑的敏感度我們知道 \(P(B|A) = 0.99\),  \(P(B|A^C)=0.01\)。假設台灣人得 H1N1 的比率為 0.1 % ,亦即 \(P(A) = 0.001\),這個機率我們稱為先驗的機率。我們關心的問題是 \(P(A|B)\),根據貝氏定理的公式,我們可以得到 \(P(A|B) = (0.99*0.001)/(0.99*0.001+0.01*0.999) = 0.090164\)。這個數字是說,當一個人檢測出 N1N1 為陽性反應時,他真正得到 H1N1 的機率不到十分之一。這個數字,是不是讓你覺得,這個試劑就不像先前直覺的牢靠。這就是貝氏定理提醒我們的地方。

我們若用相似的概念來看陳致中先生的招妓疑雲,便能解釋為何深綠族群可以不為所動。我們令 \(B\) 是假設陳致中招妓,可以找到相關事證的機率。\(A\) 是陳致中真正招妓的機率。我們真正想知道的是當有這些相關事證時,陳致中真的去招妓的機率是多少?根據華視新聞在2010年11月24日的報導,法官認定陳致中從2003年5月27日起用0958開頭的(X門號 SIM卡)行動電話門號,一直到現在還是使用這個 A 門號,另一個 0953 開頭的(Y門號SIM卡)門號,是用洪○○的名義申請,租用期間從 2009 年 4 月 23 日起到 2010 年 7 月 29 日止。而經過交叉比對兩個門號的手機序號和基地台位置,X 門號先後 4 次使用 Y 手機通話,Y 門號先後24次使用 X 手機通話,兩手機交互使用 SIM 卡的情形頻繁,且依照通聯紀錄顯示,兩門號與他人通話或接受簡訊時,所在的基地台位置相互吻合,「顯見 X、Y 兩門號均由陳致中本人所使用」。而所謂「召妓男」使用的 B 門號,從今年 7 月 2 日 23 時 37 分起,先後撥打 4 次電話與應召業者聯絡應召。

假設 SIM 卡互換如陳致中先生所說的是莫名其妙,那麼這莫名其妙的機率到底有多高呢?假定南部的系統業者很爛,你使用的手機有 40% 的機率會莫名其妙互換(會用這麼誇張的數字,是為了讓電腦可以計算,若用更合理的數字,那麼 X 門號與 Y 門號是同一使用者的機率在數值計算上是 1),那麼 X 門號和 Y 門號的使用人一點關係都沒有的機率是\(0.4)^28=7.2057594037928047^{-12}\),這個數字就是 \(P(B|A^C)\)。換句話說,用這個數字去計算陳致中先生有招妓行為事證的機率 \(P(B|A)\) 其值約為 0.99999999999279421。

回到貝氏定理,我們關心的是 \(P(A|B)\) 是多少?這裡需要一個先驗的機率,就是 \(P(A)\)。 \(P(A)\) 就是在什麼都不管的情況下陳致中先生可能去招妓的機率。對一般大眾來說,這機率應該也不高,假設 \(P(A)\) 是 0.000001吧!意思是說沒有政黨色彩的人可能覺得陳致中先生會招妓的機率是百萬分之一(很厚道囉),像他這種政商名流的人,應該會愛惜羽毛吧。在這個先驗機率的假設下所計算出來的 \(P(A|B)\) 是 0.99999279426760956。這就是法官作為心證的數學根據。縱使有人批評司法,法官不應該直接下斷語,但若這樣的機率法官都不能下斷語,那就沒有什麼事是法官可以下判斷的了。

但先驗的機率終究是先驗的假設,這個假設是主觀的,是關乎信仰的,我相信在深綠的心中這個數字會和一般大眾不同。假設在深綠的民眾中,這個數字是 0,那麼 \(P(A|B)\) 就是 0。你們知道嗎?當這個先驗的機率是十億分一的時候,\(P(A|B)\) 的值都高達 0.93278542682906729。從這個角度,可以看見深綠民眾的政治信仰強度有多深。這個深度是這些群眾相信扁家在人格上可能有瑕疵的機率是小於十億分之一以下。在這樣的信仰強度下,我在這裡要誠懇的呼籲,不要再談扁家人了,不要再報導關於扁家人的弊案了,不要再舉例這家人有多離譜了,請不要再用任何世界上的正面價值,去證明扁家在這些正面價值的缺乏。因為這麼做不會動搖深綠群眾的一絲一毫,但是對於其他民眾來說,會有強烈的無奈感與失望感,這種失望,會造成社會正面價值的崩解。貪污,不行嗎?關說,不行嗎?洗錢,不行嗎?嫖妓,不行嗎?說謊,不行嗎?別再用鑽石敲石頭了,石頭不會因為鑽石的琢磨變得美麗,恐怕還把鑽石給弄髒了呢。