數學教育中的實驗精神

數學是科學之母,科學方法中實驗、觀察、歸納、假設、求證與再實驗是不可或缺的步驟。由於數學中演繹的比重很多,也因此許多教授數學的老師都忘了數學中還有嘗試的成分,時常我們只教授一次到位的證明,卻忽略了一個重要的概念是在什麼時空背景下被孕育出來的。

我們在幼兒的數學教育中比較能接受給學生觀察的空間,從數數開始,簡易的四則運算,到幾何圖形問題。大概從中學的數學教育開始,至少我的學習經驗是如此,我們的數學訓練都是從看題目然後就一次跳到解答。中間醞釀解題的過程都非常的短暫,能反應過來的同學就能繼續在數學領域深造,沒能銜接的就慢慢淡出這個學科。到了大學時期的數學教育,更多的定理證明推演,為什麼要這樣想幾乎都沒人提起。

少了思考問題的起源,嘗試各種錯誤的解法,觀察不同解法中的優缺點再試著突破,這些經驗在解決應用問題上是非常重要的。但是在教學現場我們會迴避這種引導思考的教學法?理由有很多,諸如班級人數太多很難控制分組討論的內容、討論太多會嚴重影響教學進度、同學天馬行空的想法會破壞授課秩序等。所以,傳統的教學方式還是最保險的方法。說穿了,我們真有能力在課堂上帶領同學思考? 

以數值積分的教學為例,我們希望以 \(\sum \omega_i f(x_i)\) 的形式來逼近 \(\int_a^b f(x)dx\) 。在Gauss Quadrature 這個單元中,我們僅以少量的 \(x_i\) 期待能逼近出好的積分值。假設在 \([a,b]\) 中,我們任意給定 n 個 \(x_i\) 點,當函數\(f(x)\) 是 \(x^k\) 時,我們可以問同學我們可以列出多少個方程式?然後解出對應的 \(\omega_i\)。

這部份需要同學嘗試,嘗試的過程可以用電腦輔助方便產生容易觀察的經驗,讓同學自己歸納出任意給定 n 個 \(x_i\) 點,我們可以逼近 n-1 階的多項式,使得當 \(f\in P_{n-1}(x)\) 時,數值積分值與理論值相同。在課堂上我們是使用程式在\([a,b]\) 區間中任意選 n 個 \(x_i\) 點,然後請同學觀察,當多項式 \(f(x)\) 的階數增加到多少的時候,我們的數值積分值開始與理論值不同。

再來,若我們直接把 \(x_i\) 與\(\omega_i\) 都當成變數時,讓同學觀察到特定解出來的\(x_i\) 會讓數值積分逼近的階數提高到 2n-1 階的多項式。試問,這樣的\(x_i\) 背後有什麼規則呢?這時我們開放同學進行許多假設或是猜測,並且相互討論這些假設是否合理,以及對這些假設作驗證。我們可以從驗證的過程中排除一些先前的假設,這過程也會增加同學對函數以及定理的直覺。

若我們假設這 n 個 \(x_i\) 是某個 n 階多項式 \(L_n(x)\) 的根,若 \(f(x)\) 也是某個高階多項式,並且 \(f(x) = q(x)L_n(x) +r(x)\) ,那麼

\(\int_a^b f(x)dx =\int_a^b q(x)L_n(x)+r(x) dx \simeq \sum \omega_i (q(x_i)L_n(x_i)+r(x_i)) = \sum \omega_i r(x_i) \)

從這個式子可以觀察出若 \(\int_a^b q(x)L_n(x) dx =0\) 這是正交的概念,\(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b r(x) dx\) 。重新檢視這些多項式的階數,\(L_n\) 是 n 階多項式,有 n 個根。\(r(x)\) 是 n-1 階,任意的 n 個 \(x_i\) 所造出的 \(\omega_i\) 剛好可以讓 n-1 階的多項式數值積分完全準確。所以,只要 \(L_n\) 可以和 \(q(x)\) 正交,那麼逼近 \(f(x)\) 的階數就可以提升到 2n-1。

由此,我們就很自然地創造了 Legendre polynomial 基底,這是正交的基底,也知道 \(x_i\) 是對應 \(L_n(x)\) 的根,然後再藉由 \(x_i\) 的確立,去解對應的\(\omega_i\) ,就成了Gauss Quadrature 在固定區間的積分形式。

這是一個數值分析教學的範例,介紹如何引導同學從觀察中建構數學知識,其中串連了函數內積的概念,多項式除法,解非線性方程式的根等概念。這種建構知識的過程會讓同學更容易記住所學的內容,提供各位參考。