數值偏微分方程

數值偏微分方程

偏微分方程(PDE)與常微分方程(ODE)的差別在於偏微分方程有兩個或兩個以上的自變數。我們這一章只討論一般型的二階偏微分方程,他的基本形式如下: \(A(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})\) for \(x_0\leq x \leq x_f\), \(y_0 \leq y \leq y_f\) 並且給予下列邊界條件: \(u(x,y_0) = b_{y_0}(x)\), \(u(x,y_f) = b_{y_f}(x)\),\(u(x_0,y) = b_{x_0}(y)\) 以及 \(u(x_f,y) = b_{x_f}(y)\)

這類的PDE 會有下列三種分類: 

  • Elliptic PDE : 若 \(B^2-4AC <0\)
  • Parabolic PDE: 若 \(B^2-4AC = 0\)
  • Hyperbolic PDE: 若 \(B^2-4AC > 0\)

這三種分類剛好對應到平衡態,消散態以及震盪系統這三種形式的表現。