非線性方程式的解

 若函數 \(f(x)\) 是一個從 \(R^1\) 映到 \(R^1\) 的連續函數,要如何利用數值方法計算 \(f(x)=0\) 的根是這一個章節的課題.倘若 \(f(x)\) 是低階多項式的形式,我們可以利用公式解的方式來計算。但對於一般的函數,我們需要更普及化的演算法來求解。當 \(x\) 不是一維的變數時,我們還希望這個演算法具有高維推廣的能力。首先我們先看要解 \(f(x)=0\) 這個問題,都可以很容易的轉化為解 \(g(x)=x\) 的問題。例如,我們把 \(f(x)=0\) 的等號兩邊加上 \(x\),亦即我們令 \(g(x)=f(x)+x\),就得到新的 \(g(x)\) ,若能解 \(g(x) = x\) 的固定點問題就等同於解 \(f(x)=0\) 的問題。這一章我們會介紹在如何的條件下,我們可以很容易地解出方程式的固定點。然後介紹Relaxation method 來增加解固定點的速度,接著引出常用的牛頓法。接下來我們暫時把焦點放在解固定點問題上。